OPERAÇÕES COM MATRIZES - 2º ANO - ENSINO MÉDIO

1) Escreva a matriz A = (a_ij) do tipo 3x4 sabendo que a_ij = 2i – 3j.

2) Dada a matriz , calcule a₁₁ + a₂₁ – a₁₃ + 2a₂₂.

3) Dada a matriz C = , calcule 3a₃₁ – 5a₄₂.

4) Uma loja vende sapatos femininos de três marcas X; Y; Z e tamanhos de 35 a 40. A loja possui no estoque 140 pares da marca X assim distribuídos:

Tamanho 35	30 pares
Tamanho 36	50 pares
Tamanho 37	25 pares
Tamanho 38	18 pares
Tamanho 39	10 pares
Tamanho 40	7 pares

    Analogamente, a loja possui, das marcas Y e Z, sapatos femininos assim distribuídos:

Tamanho	35	36	37	38	39	40
Quantidade da marca Y	8	7	9	28	10	8
Quantidade da marca Z	0	10	15	12	9	3

    a) Escreva sob forma de matriz todas as informações dadas.

    b) Quantos pares de sapato ela tem do tamanho que você usa?

    c) Qual é o tamanho que possui mais pares em estoque?

    d) Escreva em linguagem coloquial o significado dos elementos a₃₅ e a₂₂ da matriz do item a.

5) Escreva a matriz A = (a_ij) do tipo 3x4 sabendo que:

    a_ij = 2i – 3j se i = j e a_ij = 3i – 2j se i ¹ j.

6) Escreva a matriz coluna do tipo 7x1 tal que a_ij = 2i + 3j.

7) a) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que a_ij = 2i + 3j.

      b) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que a_ij = 3i + 2j.

8) a) Determine a matriz A do tipo 3x2 sabendo que a_ij = (2i -3j)/2.

      b) De que tipo é a matriz A^t da matriz do item a?

      c) Determine a matriz A^t da matriz A do item a?

9) Dadas as matrizes  e  

      Determine x e y de modo que a matriz A seja igual à matriz B.

10) Calcule o valor de x para que sejam iguais as duas matrizes  e .

11) Calcule o valor de x, y e z de modo que as matrizes  e  sejam iguais.

12) Sendo ,  e  

      Resolva as equações matriciais abaixo, determinando o valor da matriz X.

a)    X + A = 2B – C.

b)    X – C = 2A + 3B.

c)    X + 2B = 3A – C.

13) Sendo  e 

      a) Calcule AB              b) Calcule BA             c) Calcule A²              d) Calcule B²

14) Calcule x; y e z em cada um dos produtos de matrizes dados:

     a)         b) 

15) Seja dada a equação matricial: .

a)  Identifique o tipo da matriz X.

b)  Determine a matriz X.

16) Determine o produto da matriz pela matriz transposta em cada um dos itens abaixo.

     a)         b) 

17) Determine as inversas das matrizes:

     a)       b)       c)       d) 

18) Dadas as matrizes:  e  determine a matriz X tal que X = A^-1.B.

ANÁLISE COMBINATÓRIA - PERMUTAÇÃO, ARRANJO, COMBINAÇÃO - 3º ANO ENSINO MÉDIO

01) De quantas maneiras diferentes um Larissa poderá se servir em um restaurante que apresenta os seguintes pratos: 10 tipos de massas, 4 de carnes, 6 saladas e 2 sobremesas.

(A) 380 possibilidades.

(B) 480 possibilidades.
(C) 580 possibilidades.
(D) 680 possibilidades.
(E) 780 possibilidades.

Resposta: B

02) Uma bibliotecária recebeu uma doação de 3 livros diferentes de Matemática, 4 livros diferentes de Química e 3 livros diferentes de Física. De quantas formas ela poderá arrumá-los em uma prateleira de livros novos?

(A) 1.560.600 maneiras.
(B) 2.450.600 maneiras.

(C) 3.628.800 maneiras.

(D) 4.600.700 maneiras.
(E) 5.500.500 maneiras.

Resposta: C

03) Utilizando o nome COPACABANA, calcule o número de anagramas formados desconsiderando aqueles em que ocorrem repetições consecutivas de letras. 

(A) 55.500 anagramas.
(B) 60.500 anagramas.
(C) 65.500 anagramas.
(D) 70.500 anagramas.

(E) 75.600 anagramas.

Resposta: E

04) Roberta deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu guarda ­roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Roberta poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem?

(A) 482 combinações.
(B) 592 combinações.
(C) 692 combinações.

(D) 792 combinações.

(E) 892 combinações.

Resposta: D

05) Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos diferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio?

(A) 1320 possibilidades.

(B) 1420 possibilidades.
(C) 1520 possibilidades.
(D) 1620 possibilidades.
(E) 1720 possibilidades.

Resposta: A

06) Uma estrada de ferro tem 10 estações. Quantos tipos distintos de bilhetes existem em circulação, sabendo-se que cada bilhete contém impressos apenas a estação de partida e a estação de chegada? (Supondo que o trem tem vagões de apenas uma classe)

(A) 28 tipos.    

(B) 45 tipos.    
(C) 20 tipos.   
(D) 56 tipos.   
(E) 90 tipos.

Resposta: B

07) Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.

(A) 151.200 possibilidades.

(B) 141.200 possibilidades.
(C) 140.200 possibilidades.
(D) 139.200 possibilidades.
(E) 138.200 possibilidades.

Resposta: A

08) Determine o número de anagramas que podem ser formados com as letras do nome ALEMANHA. Desconsiderando aqueles em que ocorrem repetições consecutivas de letras.

(A) 4000 anagramas.
(B) 4600 anagramas.
(C) 5600 anagramas.
(D) 5720 anagramas.

(E) 6720 anagramas

Resposta: E

09) De quantas maneiras podemos escolher um chefe, um tesoureiro e um secretário para um clube, sendo que há 10 candidatos a chefe, 20 candidatos a tesoureiro e 30 candidatos a secretário?

(A) 3.000 possibilidades.
(B) 4.000 possibilidades.
(C) 5.000 possibilidades.

(D) 6.000 possibilidades.

(E) 8.000 possibilidades.

Resposta: D

10) Uma turma da Escola publica tem 9 disciplinas. De quantos modos diferentes pode ser organizado o horário dos 5 períodos de 2ª feira, se não terão dois períodos da mesma disciplina?

(A) 162.670 modos.
(B) 262.720 modos.

(C) 362.880 modos.

(D) 463.720 modos.
(E) 560. 672 modos.

Resposta: C

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS - 2º E 3º ANO

1 – (Cesgranrio) – Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:

a) 6√3 m.

b) 12 m.

c) 13,6 m.

d) 9√3 m.

e) 18 m.

2 – (UFAM)–  Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:

a) 2√3

b) √3

     3

c) √3

     6

d) √20

     20

3 – (ENEM 2013) – As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:

a) menor que 100m².

b) entre 100 m² e 300 m².

c) entre 300 m² e 500 m².

d) entre 500 m² e 700 m².

e) maior que 700 m².

4 – (ENEM 2009) – Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

2ª questão com seno, cosseno e tangente – Enem 2013

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a

(Considere = 0,58)

a) 50%

b) 43%

c) 37%

d) 33%

e) 19%

5  – (Cesgranrio) – Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de: 

a) 0,5 m

b) 1 m

c) 1,5 m

d) 1,7 m

e) 2 m

6– (Ufjf) – A uma tela de computador está associado um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no canto inferior esquerdo. Um certo programa gráfico pode ser usado para desenhar na tela somente retas de inclinações iguais a 0°, 30°, 45°, 60° e 90° em relação ao eixo horizontal. Então, considerando-se os pontos a seguir, o único que NÃO pode estar sobre uma reta, A PARTIR DA ORIGEM, desenhada por este programa é: 

a) (0, 10Ë3).

b) (10Ë3, 0).

c) (10Ë3, 10Ë3).

d) (10Ë3, 5Ë3).

e) (10Ë3, 10). 

7 – (Ufes) – Duas circunferências são tangentes entre si e aos lados de um ângulo. Se R é o raio da maior, r é o raio da menor e o ângulo mede 60°, então 

a) R = (3Ë3)r/2

b) R = 2Ë3r

c) R = 3Ë3r

d) R = 2r

e) R = 3r

Respostas dos Exercícios sobre Razões Trigonométricas

Exercício resolvido da questão 1 –

e) 18 m.

Exercício resolvido da questão 2 –

b) √3

     3

Exercício resolvido da questão 3 –

e) maior que 700 m².

Exercício resolvido da questão 4 –

e) 19%

Exercício resolvido da questão 5 –

b) 1 m

Exercício resolvido da questão 6 –

d) (10Ë3, 5Ë3).

Exercício resolvido da questão 7 –

e) R = 3r

DETERMINANTE

QUESTÃO 1 (Unicap - PE)  Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.

QUESTÃO 2  (U.F. Ouro Preto – MG) Considere a matriz:

QUESTÃO 3  Determine o valor de x para que o determinante da matriz A seja igual a 8.

QUESTÃO 4  O determinante da matriz A é igual a -2. Se B e C são as matrizes obtidas, respectivamente, pela substituição em A do menor e do maior valor de y encontrados, calcule a matriz transposta do produto de B por C. 

QUESTÃO 5 (Unicamp - SP) Seja a um número real e seja:

a) Para a=1, encontre todas as raízes da equação p(x)=0

b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x)=0 tem uma única raiz real.

GABARITO: 

1) X = 13

2)  -6x² + 7x -1

3) x = -2   ou    x = 1

4) x = 0 ou  x = -5/4

5) a) Façamos o determinante com o valor de a = 1:

Temos o produto de duas parcelas igual a zero, então teremos duas situações:

3 - x = 0    ou    (1 - x) ² + 4 = 0

Na primeira temos que x = 3; na segunda não é possível determinar uma solução.

Logo, temos apenas uma raiz possível quando a for igual a

 b)

Novamente teremos duas situações: uma onde x=3 e a outra temos que determinar para quais valores de a teremos apenas a solução x = 3:

Para que só exista uma única raiz, essa equação do segundo grau não deve ter raiz, ou seja, seu discriminante deve ser menor que zero.

OPERAÇÕES COM MATRIZES - PARTE II

   
   
1) Adicione as matrizes e determine os valores das incógnitas.

2) (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:
 
a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.

3) (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e A^t, B^t e C^t são suas matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:

a) (A = B) . C = A . C + B . C
b) (A + B)^t = A^t + B^t

c) (A . B)^t = A^t . B^t

d) (A - B)C = AC - BC

e) (A^t)^t = A

4) Caso exista, encontre a inversa da matriz 

GABARITO:

 

 1) x = 5  y = - 4   t = 1  z = 6   

 2) C  

 

3) C  

  

 4)