MMC e MDC
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
Para que serve o MMC?
O serve para saber qual o menor número positivo, excluindo o zero entre dois ou mais números que são múltiplos, ou seja tem o mesmo número de multiplicado.
Observação: O MMC, de dois ou mais números inteiros é o menor múltiplo inteiro positivo comum a todos eles.
Como é que faz o MMC?
Encontrar o MMC pela decomposição em fatores primos deve obedecer as seguintes regras:
Decompor os números dados em fatores primos.
Colocar os fatores primos comuns ou não comuns com seus expoentes maiores.
Fazer o produto desses fatores primos.
Exemplo 1
Calcule o MMC entre 12 e 45 usando esse método:
Observe que nesse processo vamos dividindo os elementos pelos números primos, ou seja, aqueles números naturais divisíveis por 1 e por ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19...
Mínimo Múltiplo Comum e Frações
O mínimo múltiplo comum (MMC) é também muito utilizado em operações com frações. Sabemos que para somar ou subtrair frações é necessário que os denominadores sejam iguais.
Assim, calculamos o MMC entre os denominadores, e este passará a ser o novo denominador das frações.
Exemplo 2
2 / 5 + 2 / 6
Como os denominadores são diferentes, o primeiro passo é encontrar o MMC entre 5 e 6. Fatorando, temos:
Propriedades do MMC
- Entre dois números primos, o MMC será o produto entre eles.- Entre dois números em que o maior é divisível pelo menor, o MMC será o maior deles.
- Ao multiplicar ou dividir dois números por um outro diferente de zero, o MMC aparece multiplicado ou dividido por esse outro.
- Ao dividir o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o resultado obtido é igual ao produto de dois números primos entre si.
- Ao multiplicar o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o resultado obtido é o produto desses números.
Exercícios resolvidos
01) Calcule o m.m.c. dos números 15, 24 e 60.
Resolução:
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 120
02) Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Calcule o m.m.c. e 3, 6 e 30.
Resolução:
m.m.c.(3,6,30) = 2 . 3 . 5 = 30
Observação: Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados.
03) Considere os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15.
Resolução:
m.m.c.(4,15) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60
Observação: dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.
04) Para encontrar o mínimo múltiplo comum entre 144, 26 e 10, faremos:
Resolução:
144, 26, 10 | 2
72, 13, 5 | 2
36, 13, 5 | 2
18, 13, 5 | 2
9, 13, 5 | 3
3, 13, 5 | 3
1, 13, 5 | 5
1, 13, 1 | 13
1, 1, 1 |
Conclusão: o m.m.c. de 144, 26 e 10 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 13 = 9360.
05) Qual o m.m.c. entre os números 12, 18 e 34.
Resolução:.jpg)
(12, 18, 24) = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 72
Conclusão: o mínimo múltiplo comum dos números 12, 18 e 24 é 72.
06) Qual o m.m.c. dos números 15, 25 e 70.
Resolução:.jpg)
(15, 25, 70) = 2 . 3 . 5 . 5 . 7 = 1 050
Conclusão: o mínimo múltiplo comum dos números 15, 25 e 70 é 1 050.
07) (PUC) “A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa doente para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita – com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas – e, como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença.”
Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a serem usados no combate à Dengue. Para tal, todas as 1.025 pessoas inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, o menor número de bairros a serem visitados é:
(A) 25
(B) 29
(C) 37
(D) 41
(E) 45
Resolução:
Quanto maior o número de pessoas em cada grupo, menor será o número total de grupos e, portanto, menor será o número de bairros visitados. Então, o número máximo de pessoas por grupo será o MDC entre o número de homens e o número de mulheres, ou seja, MDC 450, 575 = 25 pessoas por grupo. O número total de grupos será o número total de bairros visitados. Como temos 45025 = 18 grupos de mulheres e 57525 = 23 grupos de homens, teremos um total de 18 + 23 = 41 grupos e, portanto, 41 bairros visitados.
Alternativa: D
08) Qual é o mínimo múltiplo comum entre os números 90, 150 e 20?
(A) 90
(B) 150
(C) 20
(D) 900
(E) 450
Resolução:
Para realizar esse cálculo, basta utilizar o método prático:
Alternativa: D
09) Uma loja de aviamentos vende prendedores de cabelo em embalagens com 15 unidades e lacinhos em embalagens com 6 unidades cada uma. Uma pessoa que deseja comprar a mesma quantidade de lacinhos e de prendedores de cabelo deverá comprar quantas embalagens no total?
Resolução:
O MMC entre 15 e 6 dirá exatamente quantas embalagens devem ser compradas no total.
10) (UEM PR/2009 - adaptada) Considerando os números 60, 110 e 126, assinale o que for correto.
2 é o único divisor positivo par de 110.
A soma dos números primos positivos que são simultaneamente divisores de 60 e de 126 é igual a 5.
A soma dos divisores positivos do número 110 é igual a 216.
O mínimo múltiplo comum entre 60 e 110 é 6600.
O máximo divisor comum entre 60 e 126 é 6.
Qual é a soma dos números referentes às alternativas corretas?
(A) 22
(B) 23
(C) 31
(D) 11
(E) 14
Resolução:
Incorreta!
10 também é um divisor par de 110.
Correta!
2 e 3, cuja soma é 5, são primos positivos que são, simultaneamente, divisores de 60 e 126.
Correta!
Os divisores do número 110 são: 1, 2, 5, 11, 10, 22, 55 e 110, e a soma entre eles é: 1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 22 + 55 + 110 = 216
Incorreta!
O MMC entre 60 e 110 é:
Correta!
O MDC entre 60 e 126 é:
Alternativa: A
11) (PUC MG/2001) O Mínimo Múltiplo Comum dos números 23, 3n e 7 é 1512. O valor de n é:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
Resolução:
O Mínimo Múltiplo Comum também pode ser calculado a partir da decomposição em fatores primos de um número. Para resolver esse exercício, portanto, podemos decompor o número 1512 em fatores primos, sabendo que ele é MMC de 23, 3n e 7, podemos ter certeza de que os fatores primos que aparecerão serão exatamente esses com o expoente do número 3. Observe:
A decomposição em fatores primos é igual ao produto apresentado no texto do exercício. Assim, podemos escrever a igualdade abaixo e concluir que o valor de n é:
23·3n·7 = 23·33·7
n = 3
Alternativa: A
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais é o maior de seus divisores.
Números primos entre si ou primos relativos.
Dois números inteiros são ditos primos entre si, ou primos relativos, se o m.d.c. entre eles é 1. É o caso de 10 e 21. Como mdc (10, 21) = 1, então 10 e 21 são primos entre si.
Propriedade fundamental do MDC. Todo divisor comum de dois ou mais números inteiros é divisor do MDC destes números.
Decomposição em fatores primos
Para encontrar o MDC pela decomposição em fatores primos devemos seguir as seguintes regras:
- Decompor os números dados em fatores primos;
- Pegar os fatores primos comuns com seus expoentes menores;
- Fazer o produtos desses fatores.
Exemplo - 1
Vamos encontrar o máximo divisor comum para os números 16 e 24.
16 = 2 . 2 . 2 . 2 = 24
24 = 2 . 2 . 2 . 3 = 2³ . 3
Os fatores primos comuns aos dois números dados 24 e 2³.
Desses dois temos 2³ com o menor expoente.
Logo, 2³ = 8.
Conclusão: o MDC(16; 24) = 8, que é o maior número natural que divide ambos os números dados.
Exemplo - 2
Considere os números 30, 50 e 20, o MDC deles é?
Resolução:
30 = 2 . 3 . 5
50 = 2 . 5 . 5 = 2 . 5²
20 = 2 . 2 . 5 = 2² . 5
Os únicos fatores que dividem ambos ao mesmo tempo são 2 e 5, veja acima na multiplicação dos números primos. Dessa forma pegamos os fatores com menores expoente e fazemos a multiplicação.
Logo, 2 x 5 = 10
Conclusão: o MDC(30; 50; 20) = 10
Exercícios resolvidos
12) Encontre os divisores do número 30.
Resolução:
12é divisível por 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2 e 1.
Conclusão: os números 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2 e 1 são divisores do número 30.
13) (UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?
(A) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.
(B) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.
(C) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
(D) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.
(E) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
Resolução:
O MMC 30, 36, 40 = 360 s = 6 min é o menor tempo em que os três se encontrarão novamente no ponto de partida. Por eliminação, já podemos marcar a letra B. Mas como encontrar o número de voltas de casa ciclista, basta dividir o tempo de 360 segundos pelo período de uma volta de cada um deles:
1º ciclista = 36040 = 9 voltas; 2º ciclista = 36036 = 10 voltas; 3º ciclista = 36030 = 12 voltas
Alternativa: B
Questões de vestibular – MMC e MDC - (Resolvidos)
14) Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo:
a) 18 e 60
Resolução:
Primeiramente, vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 18 e 60 pela decomposição simultânea dos dois números. Sempre dividindo os números pelo menor número primo possível:
18, 60 | 2
9, 30 | 2
9, 15 | 3
3, 5 | 3
1, 5 | 5
1, 1 |
Vamos multiplicar todos os números que ficaram à direita: 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 180. Portanto, MMC (18, 60) = 180.
18, 60 | 2
9, 30 | 2
9, 15 | 3
3, 5 | 3
1, 5 | 5
1, 1 |
Mas desses números à direita, os únicos que dividem o 18 e o 60, simultaneamente, são os números destacados: 2 e 3. Multiplicando-os, encontramos o resultado 6. Logo, o MDC (18, 60) = 6.
b) 210 e 462
Resolução:
Vamos calcular o MMC (210, 462) através da decomposição simultânea dos dois números:
210, 462 | 2
105, 231 | 3
35, 77 | 5
7, 77 | 7
1, 11 | 11
1, 1 |
Basta multiplicar todos os números que ficaram à direita : 2 . 3 . 5 . 7 x 11 = 2310. Portanto, MMC (210, 462) = 2.310.
210, 462 | 2
105, 231 | 3
35, 77 | 5
7, 77 | 7
1, 11 | 11
1, 1 |
Para encontrarmos o MDC, procuramos à direita os números que dividiram o 210 e o 462 simultaneamente, 2, 3 e 7. Multiplicando-os, encontramos o resultado 42. O MDC (210, 462) = 42.
15) (Fuvest – SP) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar simultaneamente”?
(A) 12
(B) 10
(C) 20
(D) 15
(E) 30
Resolução:
Como o exercício nos questiona “após quantos segundos elas voltarão a 'piscar simultaneamente'”, precisamos converter as informações dadas para medidas de “segundos”. Portanto, se a primeira torre “pisca” 15 vezes por minuto, sabendo que um minuto equivale a 60 segundos, podemos fazer 60 : 15 = 4, pois as luzes da primeira piscam de 4 em 4 segundos. Equivalentemente, os cálculos para a segunda torre são 60 : 10 = 6, o que nos indica que as luzes da segunda torre piscam de 6 em 6 segundos.
4, 6 | 2
2, 3 | 2
1, 3| 3
1, 1 | 3 . 2 . 2 = 12
Multiplicando os números que dividem o 4 e o 6, temos 2 . 1 . 3 = 12. Portanto, MMC (4,6) = 12.
Conclusão: as torres piscaram juntas a cada 12 segundos.
Alternativa: A
16) (Mackenzie – SP) Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de:
Resolução:
Para resolver essa questão, precisamos recorrer à ideia do Máximo Divisor Comum, pois queremos que o tempo de cada aparição seja o maior possível.
Façamos então a fatoração simultânea dos tempos de aparição de cada político:
90, 108, 144 | 2
45, 54, 72 | 2
45, 27, 36 | 2
45, 27, 18 | 2
45, 27, 9 | 3
15, 9, 3 | 3
5, 3, 1 | 3
5, 1, 1 | 5
1, 1, 1 |
Já que estamos procurando o MDC, vamos procurar aqueles números que dividiram os três números ao mesmo tempo. Fazendo a multiplicação deles, temos: 2 . 3 . 3 = 18.
Encontramos o tempo de aparição de cada político, 18 segundos. Precisamos agora descobrir quantas aparições cada um deles realizou. Vejamos:
90: 18 = 5 aparições
108/18 = 6 aparições
144 : 18 = 8 aparições
Conclusão: somando as aparições de cada um, encontramos 5 + 6 + 8 = 19 aparições.
17) José possui um supermercado e pretende organizar de 100 a 150 detergentes, de três marcas distintas, na prateleira de produtos de limpeza, agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, mas sempre restando um. Quantos detergentes José tem em seu supermercado?
Resolução:
Se José arruma os detergentes em grupos de múltiplos de 12, 15 ou 20, e sobra 1, vamos então encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses números e adicionaremos 1 ao resultado. Vejamos:
12, 15, 20 | 2
6 , 15 , 10 | 2
3 , 15 , 5 | 3
1 , 5 , 5 | 5
1 , 1 , 1 |
Temos que multiplicar os números que apareceram à direita: 2 . 2 . 3 . 5 = 60. Todos os múltiplos de 60 serão também múltiplos comuns a 12, 15 e 20. Vejamos os múltiplos de 60:
M(60) = {0, 60, 120, 180, 240, ...}
Você pode observar que o único dos múltiplos de 60 que se encaixa na quantidade de detergentes do supermercado de José é o 120. Mas falta ainda acrescentarmos aquele detergente que sempre restava, portanto, podemos concluir que no supermercado de José havia 121 detergentes.
18) Dois irmãos moram juntos e costumam fazer longas viagens em seus trabalhos. João é maquinista de trem e fica sempre 20 dias fora de casa a cada viagem, folgando no vigésimo primeiro dia. Antônio é piloto de avião e ausenta-se de sua casa por oito dias, tendo o nono dia para descansar. Se ambos os irmãos iniciaram uma viagem hoje, daqui a quantos dias eles poderão encontrar-se em casa?
Resolução:
Pretendemos determinar o menor prazo para que os irmãos encontrem-se. Para isso, calcularemos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos tempos de viagem de cada um deles:
Multiplicando os números que aparecem à direita na fatoração, encontraremos o MMC de 9 e 21:
MMC (9, 21) = 3 . 3 . 7
MMC (9, 21) = 63
Conclusão: os irmãos encontrar-se-ão daqui a 63 dias.
19) No primeiro dia de aula de uma escola, a professora de Matemática Ana reuniu todos os alunos do 6° ao 9° ano no pátio. Com a ajuda dos demais professores, Ana contabilizou que havia 532 meninas e 456 meninos. Ao propor uma dinâmica, a professora pediu aos alunos que se dividissem na maior quantidade de grupos possível. Os grupos deveriam ter a mesma quantidade de pessoas e a mesma quantidade de meninos e de meninas em ambos. Qual é o total de alunos em cada grupo?
Resolução:
Devemos determinar a maior quantidade de grupos formada pelos alunos, de modo que todos apresentem a mesma quantidade de meninos e meninas. Façamos o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre o total de meninos e meninas:
Veja os números da fatoração que estão destacados. Esses são os valores que dividem o 456 e o 532. Multiplicando esses números, podemos determinar o MDC de 456 e 532:
MDC (456, 532) = 2 · 2 · 19
MDC (456, 532) = 76
Dividindo os alunos de acordo com o gênero:
Meninas
532 : 76 = 7
Meninos
456 : 76 = 6
Conclusão: cada grupo é composto por sete meninas e seis meninos, totalizando 13 alunos por grupo.
20) (UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?
(A) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.
(B) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.
(C) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
(D) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.
(E) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
Resolução:
Queremos saber o menor tempo em que os ciclistas se encontrarão. Para isso, faremos o cálculo do MMC dos tempos de cada um deles:
Multiplicando todos os números que apareceram à direita na fatoração, teremos o seguinte produto:
MMC (30, 42, 40) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
MMC (30, 42, 40) = 360
Os ciclistas encontrar-se-ão depois de passados 360 s, o que corresponde a 6 min, uma vez que (60 s)· 6 = 360 s. Sabendo que o primeiro ciclista faz o percurso em 40 s, o segundo, em 36 s; e o terceiro, em 30 s, vejamos em que volta cada um deles estará:
1° ciclista:
(360 s) : (40 s / volta) = 9ª volta
2° ciclista:
(360 s) : (36 s / volta) = 10ª volta
3° ciclista:
(360 s) : (30 s / volta) = 12ª volta
Alternativa: B
21) (UFPE) Uma escola deverá distribuir um total de 1260 bolas de gude amarelas e 9072 bolas de gude verdes entre alguns de seus alunos. Cada aluno contemplado receberá o mesmo número de bolas amarelas e o mesmo número de bolas verdes. Se a escola possui 300 alunos e o maior número possível de alunos da escola deverá ser contemplado, qual o total de bolas que cada aluno contemplado receberá?
(A) 38
(B) 39
(C) 40
(D) 41
(E) 42
Resolução:
Pelo enunciado do problema podemos ver que cada aluno receberá a mesma quantidade de bolas verdes e amarelas. Faremos então o cálculo do MDC entre as quantidades disponíveis de cada bola de gude:
Observe que estão destacados os números da fatoração que dividem tanto o 1260 quanto o 9072. Através do produto desses números, podemos determinar o MDC de 1260 e 9072:
MDC (1260, 9072) = 2 · 2 · 3 · 3 · 7
MDC (1260, 9072) = 252
Vamos agora dividir as quantidades de bolas de gude de cada cor por 252 para determinar quantas bolas de gude cada aluno ganhará:
Bolas Amarelas
1260 : 252 = 5
Bolas Verdes
9072 : 252 = 36
Portanto, cada aluno receberá cinco bolas amarelas e 36 bolas verdes, totalizando 41 bolas de gude.
Alternativa: D
22) (ENEM) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir
(A) 105 peças.
(B) 120 peças.
(C) 210 peças.
(D) 243 peças.
(E) 420 peças.
Resolução:
Como é pedido que as peças tenham o mesmo comprimento e o maior tamanho possível, vamos calcular o mdc (máximo divisor comum).
Calculando o mdc entre 540, 810 e 1080:
Entretanto, o valor encontrado não poderá ser usado, pois existe a restrição do comprimento ser menor que 2 m.
Assim, vamos dividir 2,7 por 2, pois o valor encontrado também será um divisor comum de 540, 810 e 1080, visto que o 2 é o menor fator primo em comum desses números.
Então, o comprimento de cada peça será igual a 1,35 m (2,7 : 2). Agora, precisamos calcular quantas peças teremos de cada tábua. Para isso, faremos:
5,40 : 1,35 = 4 peças
8,10 : 1,35 = 6 peças
10,80 : 1,35 = 8 peças
Considerando a quantidade de cada tábua e somando, temos:
40 . 4 + 30 . 6 + 10 . 8 = 160 + 180 + 80 = 420 peças
Alternativa: E
23) (ENEM) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:
cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;
todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;
não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).
O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é
(A) 2.
(B) 4.
(C) 9.
(D) 40.
(E) 80.
Resolução:
Para descobrir o número mínimo de escolas, precisamos conhecer o número máximo de ingressos que cada escola poderá receber, considerando que este número deverá ser igual nas duas sessões.
Desta maneira, iremos calcular o mdc entre 400 e 320:
O valor do mdc encontrado representa o maior número de ingressos que cada escola irá receber, de modo que não haja sobras.
Para calcular o número mínimo de escolas que podem ser escolhidas, devemos ainda dividir a quantidade de ingressos de cada sessão pelo número de ingressos que cada escola receberá, assim temos:
400 : 80 = 5
320 : 80 = 4
Portanto, o número mínimo de escolas será igual a 9 (5 + 4).
Alternativa: C
24) (EPCAR – 2010) Um agricultor fará uma plantação de feijão em canteiro retilíneo. Para isso, começou a marcar os locais onde plantaria as sementes. A figura abaixo indica os pontos já marcados pelo agricultor e as distâncias, em cm, entre eles.
Esse agricultor, depois, marcou outros pontos entre os já existentes, de modo que a distância d entre todos eles fosse a mesma e a maior possível. Se x representa o número de vezes que a distância d foi obtida pelo agricultor, então x é um número divisível por
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
Resolução:
Para resolver a questão, precisamos encontrar um número que divide ao mesmo tempo os números apresentados. Como é pedido que a distância seja a maior possível, vamos calcular o mdc entre eles.
Desta forma, a distância entre cada ponto será igual a 5 cm.
Para encontrar o número de vezes que essa distância foi repetida, vamos dividir cada segmento original por 5 e somar os valores encontrados:
15 : 5 = 3
70 : 5 = 14
150 : 5 = 30
500 : 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
O número encontrado é divisível por 7, pois 21.7 = 147
Alternativa: D
25) (PM SE – IBFC) Um comerciante vende balas em pacotinhos, sempre com a mesma quantidade. Ao fazer isso, percebeu que dentre as balas que possuía poderia colocar 8, 12 ou 20 balas em cada pacote. Nessas condições, assinale a alternativa que apresenta o número mínimo de balas que o comerciante dispunha:
(A) 120
(B) 240
(C) 360
(D) 60
(E) 90
Resolução:
Veja que a quantidade mínima de balas que o comerciante dispunha é múltiplo de 8, 12 e 20, ou seja, basta calcular o MMC dos três números.
8 = 2³
12 = 2².3
20 = 2².5
MMC(8, 12, 20) = 2³.3.5 = 120
Alternativa: A
26) (PM AC – Funcab) Sendo D o Maior Divisor Comum entre os números 525 e 1120, e M o Mínimo Múltiplo Comum entre eles, determine o valor de M – 250.D.
(A) 8050
(B) 8750
(C) 16000
(D) 16835
(E) 16765
Resolução:
Calculando o MDC:
O MDC é o produto dos primos que se repetem:
5.7 = 35
Calculando o MMC:
2.2.2.2.2.3.5.5.7 = 16800
Conclusão:
16800 – 250.35 = 16800 – 8750 = 8050
Alternativa: A
27) (Correios – Cespe) O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível.
Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir
(A) mais de 30 cm.
(B) menos de 15 cm.
(C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
(D) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
(E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
Resolução:
Como as respostas estão em cm, vamos considerar as medidas da sala como 352cm x 416cm.
Note que estamos querendo revestir com ladrilhos quadrados iguais de modo que não fiquem espaços vazios e que sejam os maiores possíveis. Não é difícil observar que na verdade estamos querendo achar o maior divisor comum, o popular MDC.
Observe que os fatores primos em comum são 2.2.2.2.2 = 32
Alternativa: A
28) (PM PI – Nucepe) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira, “pisca“ 12 vezes por minuto e a segunda, “pisca“ 15 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
(A) 10 segundos.
(B) 20 segundos.
(C) 15 segundos.
(D) 40 segundos.
(E) 30 segundos.
Resolução:
A que pisca 12 vezes por minuto pisca de 5 em 5 segundos.
Ela pisca em 0, 5, 10, 15, 20…
A que pisca 15 vezes por minuto pisca de 4 em 4 segundos.
Ela pisca em 0, 4, 8, 12, 16, 20…
O que estamos fazendo na verdade é calcular o mmc de 4 e 5 que é 20.
Alternativa: B
29) (PM SP – Vunesp) No estoque de uma papelaria, há uma caixa com várias borrachas iguais e, para facilitar as vendas, o dono dessa papelaria decidiu fazer pacotinhos, todos com a mesma quantidade de borrachas. Ao fazer isso, notou que era possível colocar 3 ou 4 ou 5 borrachas em cada pacotinho e, assim, não sobraria borracha alguma na caixa. O menor número de borrachas que essa caixa poderia conter era:
(A) 80.
(B) 65.
(C) 60.
(D) 70.
(E) 75.
Resolução:
A questão fala de uma caixa com várias borrachas, onde o vendedor consegue dividir em caixas com 3, 4 ou 5 borrachas.
Estamos tratando de mmc (mínimo múltiplo comum), ou seja, a quantidade de borrachas pode ser dividida por 3, 4 ou 5 e tem que ser a menor possível.
Como não existem fatores primos em comum, o mmc(3, 4, 5) = 3.4.5 = 60
Alternativa: C
30) (SAP SP) Uma pizzaria funciona todos os dias da semana e sempre tem promoções para seus clientes. A cada 4 dias, o cliente tem desconto na compra da pizza de calabresa; a cada 3 dias, na compra de duas pizzas, ganha uma mini pizza doce, e uma vez por semana tem a promoção de refrigerantes. Se hoje estão as três promoções vigentes, esse ocorrido voltará a acontecer daqui a quantas semanas?
(A) 40.
(B) 12.
(C) 84.
(D) 22.
(E) 7.
Resolução:
Veja que os descontos acontecem a cada, 4, 3 e 7 dias.
Hoje é o dia da coincidência. Queremos saber quando acontecerá novamente.
Na verdade estamos querendo saber qual o menor múltiplo comum de 4, 3 e 7, ou seja, o mmc e 4, 3 e 7, que é 84.
Para descobrirmos a semana, obviamente basta dividir por 7:
84/7 = 12
31) (Detran SP – Vunesp) Uma coleção de miniaturas de brinquedos é formada por 328 carrinhos, 256 motos e 192 caminhões. Os brinquedos serão organizados em grupos com a mesma quantidade, de modo que cada grupo seja formado pelo mesmo tipo de miniatura. Desejando-se que cada grupo tenha o maior número possível de miniaturas, então o número de brinquedos em cada grupo e a quantidade de grupos formados com motos são, respectivamente,
(A) 6 e 67.
(B) 8 e 41.
(C) 6 e 53.
(D) 8 e 32.
(E) 6 e 41.
Resolução:
A questão está pedindo para dividirmos os números 328, 256 e 192 pelo mesmo número e que seja maior número possível.
Perceba que é justamente a definição de MDC (máximo divisor comum).
Sabendo que MDC(328, 256, 192) = 8, temos:
328/8 = 41 grupos com 8 carrinhos cada
256/8 = 32 grupos com 8 motos cada
192/8 = 24 grupos com 8 caminhões cada
Alternativa: D
