LISTA DE EXERCÍCIOS - OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS - 3º COLEGIAL

01) Para fatorar a expressão: 12x + 24y.
Resolução:
Nota-se que 12 é o fator em evidência, uma vez que ele aparece em ambas as parcelas, assim, para determinar os números que vão no interior dos parênteses, basta dividir cada parcela pelo fator em evidência.
12x / 12 = x
24y / 12 = 2y
12x + 24y = 12 . (x + 2y)

02) Para fatorar a expressão 21ab² – 70a²b.
Resolução:
Do mesmo modo, inicialmente, determina-se o fator em evidência, isto é, o fator que se repete nas parcelas. Veja que da parte numérica temos o 7 como fator comum, uma vez que ele é o único que divide ambos os números.
Agora, em relação à parte literal, veja que se repete somente o fator ab, logo, o fator em evidência é: 7ab.
21ab² – 70a²b = 7ab (3b – 10^a)

Fatoração por agrupamento
A fatoração por agrupamento é decorrente da fatoração por evidência, a única diferença é que, em vez de termos um monômio como fator comum ou fator em evidência, teremos um polinômio.

Exemplo:
Considere a expressão (a + b) · xy + (a + b) · wz²
Resolução:
Observe que o fator comum é o binômio (a + b), logo, a forma fatorada da expressão anterior é:
(a + b) · (xy + wz²)

Diferença entre dois quadrados
Considere dois números a e b, quando temos a diferença do quadrado desses números, isto é, a² – b², então podemos escrevê-los como sendo o produto da soma pela diferença, ou seja:
a² – b² = (a + b) · (a – b)

03) Para fatorar a expressão x² – y².
Resolução:
Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo:
x² – y² = (x + y) · (x – y)

04) Para fatorar 2.020² – 2.019².
Resolução:
Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo:
2.020² – 2.019² = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.020² – 2.019² = 4.039 · 1
2.020² – 2.019² = 4.039

Trinômio do quadrado perfeito
Considere o quadrado seguinte de lado (a + b) e observe as áreas dos quadrados e retângulos formados em seu interior.
Veja que a área do quadrado maior é dada por (a + b)², mas, por outro lado, a área do quadrado maior pode ser obtida pela soma dos quadrados e retângulos do seu interior, assim:
(a + b)² = a² + ab + ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
De maneira análoga, temos que:
(a – b)² = a² – 2ab + b²

05) Considere a expressão x² + 12x + 36.
Resolução:
Para fatorar uma expressão desse tipo, basta identificar o coeficiente da variável x e o coeficiente independente, e comparar com a fórmula dada, veja:
x² + 12x + 36
a² + 2ab + b²
Fazendo as comparações, veja que x = a, 2b = 12 e b² = 36; das igualdades, temos que b = 6, assim a expressão fatorada é:
x² + 12x + 36 = (x + 6)²

Trinômio do segundo grau
Considere o trinômio ax² + bx + c. A sua forma fatorada pode ser encontrada utilizando suas raízes, ou seja, os valores de x que zeram tal expressão. Para determinar os valores que zeram tal expressão, basta resolver a equação ax² + bx + c = 0 utilizando o método que achar conveniente. Aqui ressaltamos o método mais conhecido como Método de Bhaskara .
A forma fatorada do trinômio  ax² + bx + c é:
ax² + bx + c
a · (x – x₁) · (x – x₂)
 
06) Considere a expressão x² + x – 20.
Resolução:
O primeiro passo é determinar as raízes da equação x² + x – 20 = 0.
Assim a forma fatorada da expressão x² + x – 20 é:
(x – 4) · (x + 5) cubo da diferença entre dois números
O cubo da diferença entre dois números a e b é dado por:
(a – b)³ = (a – b) · (a – b)²
(a – b)³ = (a – b) · (a² – 2ab + b²) cubo da soma de dois números

De maneira análoga, temos que (a + b)³ = (a + b) · (a + b)² , logo:
(a + b)³ = (a + b) · (a² + 2ab + b²)

A fatoração é um instrumento que facilita a resolução das expressões algébricas.

07) (Cefet-MG) Sendo o número n = 684² – 683², a soma dos algarismos de n é:
(A) 14
(C) 15
(C) 16
(D) 17
(E) 18
Resolução
Alternativa d. Para determinar a soma dos algarismos de n, inicialmente fatorarmos a expressão, uma vez que calcular os quadrados e, em seguida, realizar a subtração geram trabalho desnecessário. Fatorando a expressão utilizando a diferença entre dois quadrados, temos:
n = 684² – 683²
n = (684 + 683) · (684 – 683)
n = 1.367 · 1
n = 1.367
Portanto, a soma dos algarismos de n é dada por 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Alternativa: D

08) (Insper-SP modificada) Determine o valor da expressão:
(A) 1007
(C) 2000
(C) 2007
 (D) 2010
(E) 2107
Resolução
Com a intenção de facilitar a notação, vamos nomear a = 2.009 e b = 2. Lembre-se de que 2² = 4, assim temos que:
Veja que, no numerador da fração, temos a diferença entre dois quadrados, logo, podemos escrever a² – b² = (a + b) (a – b).
Logo:
a – b = 2009 – 2 = 2007.
Alternativa: C

Polinômios incompletos
O polinômio será incompleto quando faltar algum número na sua sequência de expoentes.

Exemplo:
 x⁵+ 5 . x¹– 2 . x⁰
A forma completa desse polinômio seria: 3. x⁵ + 0 . x⁴ – 0 . x³ + 0 . x² + 5 . x¹ – 2 . x⁰.
Faltaram os expoentes em relação à variável x: x⁴, x³ e x². Por esse motivo, o polinômio é incompleto.

Grau de um polinômio com apenas uma variável
Quando o polinômio possuir apenas uma variável, o grau será dado pelo maior expoente. Exemplo:
a) x³ + x² + 10x – 5 possui grau 3;
b) x¹⁰– x⁹+ 50 possui grau 10.

Grau dos Polinômios
O grau de um polinômio é dado pelos expoentes da parte literal. Para encontrar o grau de um polinômio devemos somar os expoentes das letras que compõem cada termo. A maior soma será o grau do polinômio.

Exemplos
a) 2x³+ y
O expoente do primeiro termo é 3 e do segundo termo é 1. Como o maior é 3, o grau do polinômio é 3.

b) 4 x²y + 8x³y³- xy⁴

Grau do polinômio com mais de uma variável: Quando o polinômio possui mais do que uma variável, para saber o seu grau, devemos somar os expoentes de cada monômio. A maior soma de expoentes determinará o grau. Exemplo:
3 + 12 . x . y – 2 . x . y²
Grau do monômio: x¹ . Y¹ → 1 + 1 = 2
Grau do monômio: x . y² → 1 + 2 = 3
Da soma de expoentes de cada monômio, obtivemos que: para (x . y), o grau é 2; e para (x . y²), o grau é 3. Sendo assim, o polinômio (3 + 12 . x . y – 2 . x . y²) é de terceiro grau.

Soma os expoentes de cada termo:
a) 4x²y = 2 + 1 = 3
b) 8x³y³= 3 + 3 = 6
c) xy⁴= 1 + 4 = 5

Valor numérico dos polinômios
Exemplo 1
Qual o valor numérico do polinômio p(x )= x² -2x + 5 para x =2.
Como vimos na definição, devemos pegar o valor 2 e substituir no lugar de x, formando assim p(2).

Resposta:  o valor numérico do polinômio p(x) = x²-2x + 5 quando x = 2 é 5.

Exemplo 1
Calcule o p(1), p(0) e p(3) do seguinte polinômio.


Para p(0) temos que x=0, então:

Para p(3), faremos x=3 e calcularemos o valor do polinômio com este valor de x.

Observação: Um polinômio pode ter vários valores numéricos, afinal a variável x pode assumir diversos valores. 

09) Observe os polinômios a seguir. (a) 3abcd2, (b) 3a + bc - d2 e (c) 3ab - cd2 e classifique-os e São monômios, binômios e trinômios, respectivamente:
(A) (b) monômio. (c) trinômio e (c) binômio
(B) (a) monômio. (a) trinômio e (c) binômio
(C) (a) monômio. (b) trinômio e (c) binômio
(D) (b) monômio. (a) trinômio e (c) binômio
(E) (a) monômio. (c) trinômio e (c) binômio
Resolução:
(a) monômio. (b) trinômio e (c) binômio
Alternativa: C

10) Qual o valor do perímetro da figura abaixo:
(A) 8x + 12
(B) 12 – 8x
(C) 12 – 8x²
(D) 8x + 12²
(E) 8x³ + 12
Resolução:
O perímetro da figura é encontrado somando-se todos os lados.
2x³ + 4 + 2x³ + 4 + x³ + 1 + x³ + 1 + x³ + 1 + x³ + 1 = 8x³ + 12
Alternativa: E

11) Encontre a área da figura:
(A) 2x + 5x + 3
(B) 2x² + 5x + 3
(C) 2x² + 5x
(D) 2x² + 5x² + 3
(E) 2x² + 5x² + 9
Resolução:
A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura.
(2x + 3) . (x+1) = 2x² + 5x + 3
Alternativa: B

12) Fatorando p polinômios 8ab + 2a²b - 4ab² temos:
(A) 2ab (4 + a - 2b)
(B) 2ab (4 + a - 2b)²
(C) 2ab² (4 + a - 2b)
(D) 2ab² (4 + a – b)
(E) 2ab (4 + a)
Resolução:
Como existem fatores comuns, fatorar colocando esses fatores em evidência: 2ab (4 + a - 2b)
Alternativa: A

13) Fatorando o polinômio 25 + 10y + y² temos:
(A) (5²+y)2
(B) 5+y
(C) (5+y²)2
(D) (5+y)
(E) (5+y)²
Resolução:
Trinômio quadrado perfeito: (5+y)²
Alternativa: E

14) Fatorando o polinômio 9 - k² temos:
(A) (3 - k) . (3 + k)
(B) (3 + k) . (3 - k)
(C) (3 + k) . (3 + k)
(D) (3 - k) . (3 - k)
(E) 3² + k²
Resolução:
Diferença de dois quadrados: (3 + k) . (3 - k)
Alternativa: B

15) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. Calcule o valor de m.
(A) 7
(B) 30
(C) 6
(D) 8
(E) 0
Resolução:
p(x) = x² – mx + 6
p(6) = 0
6² – m . 6 + 6 = 0
36 – 6m + 6 = 0
– 6m = – 42 . (–1)
6m = 42
m = 42/6
m = 7
O valor de m que satisfaz as condições informadas é 7.
Alternativa: A

16)  (Guarda Civil SP) Considere o polinômio: p(x) = 4x⁴ + 3x³ – 2x² + x + k . Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é:
(A) 386.
(B) 405.
(C) 324.
(D) 81.
(E) 368.
Resolução:
Como P(1) = 2:
P(1) = 4.1 + 3.1 – 2.1 + 1 + k = 2
4 + 3 – 2 + 1 + k = 2
6 + k = 2
k = 2 – 6
k = – 4
O polinômio será P(x) =  4x⁴  + 3x³ – 2x² + x – 4
Calculando P(3):
P(x) =  4x⁴ + 3x³ – 2x² + x – 4
P(3) =  4.3⁴ + 3.3³ – 2.3² + 3 – 4
P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4
P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4
P(3) = 386
Alternativa: A

17) (RFB 2009 – Esaf). Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x–a) e (x–b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x – 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x – 1) e (x + 3) é igual a:
(A) 13x/4 + 7/4
(B) 7x/4 – 13/4
(C) 7x/4 + 13/4
(D) -13x/4 – 13/4
(E) -13x/4 – 7/4
Resolução:
Primeiramente, o resto da divisão de um polinômio P(x) por (x-a) é igual a P(a).
Dividindo o polinômio f pelo polinômio de grau 2, resultado do produto (x-1).(x+3). Observe que o resto deve ter grau 1 ou 0 (se divisão exata).Vamos chamar o resto de ax + b.
Temos::
P(1) = 5 (5 é o resto da divisão de f por x-1)
P(-3) = -2 (-2 é o resto da divisão de f por x+3)
Daí,
a.1 + b = 5
a.(-3) + b = -2
Subtraindo a equação 1 pela equação 2, temos:
4a = 7
a = 7/4
Substituindo “a” na equação 1, temos:
7/4 + b = 5
b = 5 – 7/4
b = 13/4
Concluímos que o resto é ax + b = (7/4).x + 13/4
Alternativa: C

18) (Prefeitura de Terra de Areia RS – Objetiva) Assinalar a alternativa que
apresenta o resultado do polinômio abaixo: 2x(5x + 7y) + 9x(2y)
(A) 10x + 14xy + 18yx
(B) 6x² + 21xy
(C) 10x² + 32xy
(D) 10x² + 9y
(E) 22x + 9y
Resolução
2x(5x + 7y) + 9x(2y)
2x.5x + 2x.7y + 9x.2y
10x² + 14xy + 18xy
10x² + 32xy
Resposta: C

19) (UP) Sabe-se que o resto da divisão de um polinômio P(x) por binômio do tipo (x – a) é P(a). Qual é o resto da divisão de P(x) = 5x³ – 5x² + 5 por (x + 1)?
(A) -1
(B) 5
(C) 1
(D) -5
Resolução
Observe que o binômio (x + 1) possui a = -1.
Calculando o valor de P(a):
P(x) = 5x³ – 5x² + 5
P(-1) = 5(-1)³ – 5(-1)² + 5
P(-1) = 5.(-1) – 5.1 + 5
P(-1) = -5 – 5 + 5
P(-1) = -5
Alternativa: D

20) Seja o polinômio P(x) 5x⁵ + 2x⁴ + x³ – 4x² + x + k, sabendo que P(1) = 5, então calcule P(3).
(A) 1371
(B) 371
(A) 2372
(D) 371
(E) 130
Resolução:
Sabendo que P(1) = 5, então o valor de k é:
P(1) = 5 . 1⁵ + 2 . 1⁴ + 1³ – 4 . 1² + 1 + k = 5
5 + 2 + 1 – 4 + 1 + k = 5
5 + k = 5
k = 5 – 5
k = 0
Agora que já temos o valor de k, então podemos calcular P(3)
Assim,
P(3) = 5 . 243 + 2 . 81 + 27 – 4 . 9 + 3 + 0
P(3) = 1215 + 162 + 27 – 36 + 3
P(3) = 1407 – 36
P(3) = 1371
Alternativa: A

21) Faça a adição e subtração dos seguintes polinômios: P(x) = 2x³ + 4x + 2 e Q(x) = – x³ + x – 3. Respectivamente.
(A) 3x³ + 3x + 5 e x³ + 5x – 1
(B) ) x³ + 5x e 3x³ + 3x + 5
(C) x³ + 5x – 1 e 3x³ + 3x + 5
(D) ) x³ + 5x – 1 e 3x³ + 3x
(E) ) x³ + 5x – 1 e 3x³ + 3x³
Resolução:
Temos que:
Adição:
P(x) + Q(x) = 2x³ + 4x + 2 + (- x³ + x – 3 )
P(x) + Q(x) = 2x³ – x³ + 4x + x + 2 – 3
P(x) + Q(x) = x³ + 5x – 1
Subtração:
P(x) – Q(x) = (2x³ + 4x + 2) – (- x³ + x – 3 )
P(x) – Q(x) = 2x³ + 4x + 2 + x³ – x + 3
P(x) – Q(x) = 2x³ + x³ + 4x – x + 2 + 3
P(x) – Q(x) = 3x³ + 3x + 5
Alternativa: C

22) Considere os polinômios: P(x) = x² – 3x + 9 e Q(x) = -2x + 3. Realize a multiplicação entre estes polinômios.
(A) – 2x² + 9x² – 27x² + 27
(B) – 2x + 9x – 27x + 27
(C) – 2x³ + 9x² – 27x
(D) 2x³ + 9x² – 27x + 27
(E) – 2x³ + 9x² – 27x + 27
Resolução:
Temos que:
(P . Q)(x) = (x² – 3x + 9) . (-2x + 3)
(P . Q)(x) = – 2x³ + 3x² + 6x² – 9x – 18x + 27
(P . Q)(x) = – 2x³ + 9x² – 27x + 27
Alternativa: E

23) (Avaliação da Aprendizagem em Processo – 3º E.M.) Determine o valor de k na equação algébrica 2𝑥³ − 4𝑥² − 2𝑥 + 𝑘 = 0 sabendo que uma de suas raizes é igual a 1.
(A) -4
(B) 0
(C) 1
(D) 4
(E) 9
Resolução:
Basta fazer a divisão substituindo “x” por 1 e aparentemente não tem maiores dificuldades com a execução.
Alternativa: D

24) (Avaliação da Aprendizagem em Processo – 3º E.M.) Dada a equação do 3º grau 𝑥³ + 2𝑥² − 5𝑥 − 6 = 0 a adição de suas três raizes é igual a:
(A) -3
(B) -1
(C) -2
(D) 0
(E) 1
Resolução:
Além de calcular corretamente as três raízes da equação o aluno compreendeu o que foi solicitado na questão.
Alternativa: C

25) (Avaliação da Aprendizagem em Processo – 3º E.M.) Calcule o volume do sólido representado na figura abaixo
(A) 𝒙^𝟑 − 𝟑𝒙 − 𝟐
(B) 𝑥 − 3𝑥³ – 2
(C) 𝑥³ − 3𝑥² − 2
(D) 𝑥² − 3𝑥³ − 2
(E) 𝑥³ − 3𝑥 + 2
Resolução:
O aluno realizou corretamente o produto das três dimensões do paralelepípedo.
Alternativa: A

26) (Avaliação da Aprendizagem em Processo – 3º E.M.) O polinômio obtido pela divisão do polinômio 2𝑥² − 5𝑥 − 12 pelo binômio 𝑥 − 4 é:
(A) 0,5𝑥 − 4,25
(B) 2𝑥 − 9
(C) 𝟐𝒙 + 𝟑
(D) 2𝑥 2 − 4𝑥 − 16
(E) 2𝑥 2 − 6𝑥 − 8
Resolução:
Observe a técnica para divisão de polinômios e fique atento à solução.
Alternativa: C

27) (Avaliação da Aprendizagem em Processo – 3º E.M O quociente do polinômio 6𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 + 1 pelo binômio 3𝑥 − 6 tem resto igual a:
(A) 0
(B) 2
(C) 10
(D) 25
(E) 43
Resolução:
Alternativa: E

28) (EAM – Aprendiz de marinheiro) Analise a figura a seguir:
Suponha que o terreno comprado por um proprietário tenha a forma da figura acima e suas medidas sejam representadas, em unidades de comprimento, pelas variáveis X, Y e Z. A expressão algébrica que representa o perímetro desse terreno é:
(A) 2x + 3y + z
(B) 3x + 4y + 2z
(C) 3x + 3y + z
(D) 3x + 2y + 3z
(E) 4x + 3y + 2z
Resolução:
Para determinamos a expressão algébrica que representa o perímetro, devemos somar todos os lados da figura geométrica que representa o terreno.
x + y + x + 2y + z + z + y + x =
Devemos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os que possuem mesma variável.
= x + x + x + y + 2y + y + z + z =
Faça a redução dos termos semelhantes operando os coeficientes.
= 3 x + 4y + 2z
Alternativa: B

29) (EAM – Aprendiz de marinheiro) Reduzindo-se os termos semelhantes da expressão b(a - b) + (b + a) (b - a) - a(b - a) + (b - a)2, obtém-se:
(A) (a – b)²
(B) (a + b)²
(C) b² – a²
(D) a₂ – b²
(E) a² + b²
Resolução:
b(a - b) + (b + a) (b - a) - a(b - a) + (b – a)² =
Efetue os produtos pela propriedade distributiva:
= ba – b² + b² – ab + ab – a² – ab +a² + b² – 2ba + a² =
Agrupe os termos semelhantes:
= ba – ab + ab – ab – 2ba – b² + b² + b² – a² +a²+ a² =
Faça a redução dos termos semelhantes operando os coeficientes / números:
= - 2 ba + b² + a² =
Organizando os termos:
= + a² - 2 ba + b² =
Fatore a expressão:
= (a - b)²
Alternativa: A

30) Resolva: (y² + 4y – 5) + (– 3y² + 12y – 1).
Resolução:
(y² + 4y – 5) + (– 3y² + 12y – 1) =
Tiremos os termos de dentro dos parênteses:
= y² + 4y – 5 – 3y² + 12y – 1 =
Agora agrupemos os termos semelhantes:
= y² – 3y² + 4y + 12y – 5 – 1 =
Basta reduzir os termos semelhantes operando os coeficientes / números.
= – 2y² + 16y – 6

32) Subtraia x² + 12x – 9 por – 8x² + 7x – 1
Resolução:
(x² + 12x – 9) - (– 8x² + 7x– 1) =
Tiremos os termos de dentro dos parênteses fazendo o jogo de sinal para: - (– 8x² + 7x– 1)
= x² + 12x – 9 + 8x² – 7x + 1 =
Agrupemos os termos semelhantes:
= X² + 8x² + 12x – 7x – 9 + 1 =
Basta reduzir os termos semelhantes operando os coeficientes / números.
= 9x² + 5x - 8

Raiz do polinômio
Tomando um polinômio qualquer cujo resultado seja 0, por exemplo 2x³ + 4x² – 2x, a raiz desse polinômio assumirá um valor b caso, e somente se, esse polinômio obtiver valor zero quando b = x.

31) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x) = x³ + 4x² - ax + 1, calcule o valor de a.
Resolução:
Como foi dito que -3 é raiz do polinômio, devemos inserir -3 no lugar de x e igualar o polinômio a zero a fim de obter o valor de a.
(-3)³ + 4(-3)² + -a(-3) + 1 = 0
-27 + 36 + 3a + 1 = 0
-26 + 36 = -3a
10 = -3a
a = -10/3